线性代数1：方程组的几何解释

Introduction

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课程信息：
威廉·吉尔伯特·斯特朗(William Gilbert Strang)教授的线性代数公开课。
麻省理工公开课 线性代数 MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005 中英双语字幕

Lecture 1: Fundamental Problem of Linear Agebra

第一课 方程组的几何解释
所谓矩阵就是由数字组成的方形数组。

方程组的矩阵表示
一切的故事都要从一个方程组讲起。
现有一个方程组：

$$2x-y=0$$

$$-x+2y=3$$

不管那么多，先写出它的矩阵形式：

$$\left[ \begin{matrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0\\ 3 \end{matrix} \right]$$

上方的矩阵形式亦可以写成
$AX=b$ 这便是方程组的矩阵表示。
行图像和列图像
所谓行图像，就是我们初高中用几何方法解方程组时所画出的图像。一个二元方程代表了二维平面中的一条直线。两条直线的交点就是方程组的解。
列图像才是关键。
在列图像中，方程组可以表示为：

$$x \left[ \begin{matrix} 2\\ -1 \end{matrix} \right] +y \left[ \begin{matrix} -1\\ 2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0\\ 3 \end{matrix} \right]$$

上式等号左边部分便是两个向量的线性组合。
解方程组的问题也就转化为了寻找两个向量正确的线性组合 (to find right linear combination)。
这在二维平面上很容易做到。
至此，矩阵乘法的计算原理也可以从这个角度来理解，矩阵乘法在初学者眼里“奇特”的计算方式无非就是“线性组合”。
个人认为，将线性组合称为线性代数的基石一点也不为过。
接下来请思考两个问题：
所有向量的线性组合是什么？
答：整个平面或者任意的$b$向量。
对于二元方程组，可以为任意的$b$向量解出方程组$AX=b$吗？
答：首先，这个问题和另一个数学问题等价：所有的线性组合是否可以填满整个平面？
也就是说假如线性组合能够填满其对应的整个平面，而$b$也处在这个平面内，我们就一定能找到一组$x$与$y$来满足这个线性组合，此时，方程组的解也就找到了。